OPERACIONES ELEMENTALES DE FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA

3.2. MOVIMIENTOS EN EL PLANO

3.2.1 Rotación

 

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Giro antihorario
Giro reciproco
Notación matricial

 

Giro antihorario

 

Sea un sistema cartesiano X Y al que se aplica un giro de manera que consideramos que es positivo en sentido anti-horario (es decir “matemático”). Obtenemos así el sistema cartesiano X’Y’. Las coordenadas (X Y) de un punto A pasan a ser las coordenadas (X’,Y’) de manera que:

 

 

X’ = OA = OM + MA (1)

 

 

En el triángulo rectángulo OMN (con ángulo en O igual a a):  OM = ON cos a = X cos a

 

 

En el triángulo rectángulo PNC (con ángulo en P igual a a):    NC =MA = PN sen a = Y sen a y sustituyendo en (1)

 

 

X’ = X cos a + Y sen a

 

 

Y’ = OB = OR – RB (2)

 

 

En el triángulo rectángulo ORQ (con ángulo en O igual a a):  OR = OQ cos a = Y cos α

 

 

En el triángulo rectángulo AQD (con ángulo en A igual a a):  QD = RB = AQ sen a = -X sen α  y sustituyendo en (2)

 

 

Y’ = Y cos a – X sen a

 

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Giro recíproco

 

En el caso de que el giro fuera recíproco, es decir en sentido horario o topográfico, solo cambiaremos el ángulo a por el –β de forma que:

 

Si a = - β entonces :

 

 

X’ = X cos β – Y sen β

Y’ = Y cos β + X sen β

 

 

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Podemos expresar estas relaciones en forma matricial:

 

Giro anti-horario:

X’

 

cos a

sen a

 

X

 

 

 

X

 

=

 

 

*

 

=

R1

*

 

Y’

 

- sen a

cos a

 

Y

 

 

 

Y

 

Y el giro recíproco:

 

X’

 

cos a

- sen a

 

X

 

 

 

X

 

=

 

 

*

 

=

R2

*

 

Y’

 

sen a

cos a

 

Y

 

 

 

Y

 

Por tanto:

 

 

 

cos2 a + sen2 a

cos a sen a - cos a sen a

 

1

0

 

R1 * R2

=

 

 

 =

 

 

;

 

 

cos a sen a - cos a sen a

cos2 a + sen2 a

 

0

1

 

 

Es decir, R1 y R2 son matrices inversas entre si además de traspuestas

 

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