OPERACIONES
ELEMENTALES DE FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA
3.3. MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO
3.3.6.
Linealización de la matriz de rotación
Puesto que el modelo matemático representado por una matriz
de rotación es no lineal será preciso linealizarlo para poder ajustarlo por procedimientos
mínimos cuadrados. Podemos hablar de tres posibilidades:
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Desarrollo en serie de Taylor
Reparametrización
Matriz de rotación aproximada
Mediante los dos primeros términos del Desarrollo de
Taylor
|
F |
|
R11 |
R12 |
R13 |
|
X |
|
X’ |
|
F |
|
|
δF / δω |
δF / δφ |
δF / δχ |
|
dω |
|
G |
= |
R21 |
R22 |
R23 |
* |
Y |
- |
Y’ |
= |
G |
|
+ |
δG / δω |
δG / δφ |
δG / δχ |
* |
dφ |
|
H |
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
Z |
|
Z’ |
|
H |
0 |
|
δH / δω |
δH / δφ |
δH / δχ |
|
dχ |
Las derivadas parciales de las tres funciones de obtienen a
partir de las derivadas de la Matriz de Rotación respecto de sus ángulos
elementales.
|
δF / δω |
= |
-R13Y + R12Z |
|
|
δG / δω |
= |
-R23Y + R22Z |
|
|
δH / δω |
= |
-R33Y + R32Z |
|
|
δF / δφ |
= |
-sen φ cos χ X + sen ω cos φ cos χ Y - cos ω cos φ cos χZ |
|
|
δG / δφ |
= |
sen φ sen χ X - sen ω cos φ sen χ Y + cos ω cos φ sen χZ |
|
|
δH / δφ |
= |
cos φ X + sen ω sen φ Y - cos ω sen φ Z |
; |
|
δF / δχ |
= |
R21X + R22Y + R23Z |
|
|
δG / δχ |
= |
- (R11X + R12Y + R13Z) |
|
|
δH / δχ |
= |
0 |
|
Que nos permite escribir un sistema de observación para n
puntos con coordenadas conocidas en ambos sistemas en la forma:
3nV1 = 3nL1
+ 3nA33dX1
|
|
|
R11 |
R12 |
R13 |
|
X |
|
X’ |
|
δF / δω |
δF / δ φ |
δF / δ χ |
|
dω |
|
V |
= |
R21 |
R22 |
R23 |
* |
Y |
- |
Y’ |
+ |
δG / δω |
δG / δ φ |
δG / δ χ |
* |
dφ |
|
|
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
Z |
|
Z’ |
|
δH / δω |
δH / δ φ |
δH / δ χ |
|
dχ |
Sistema que se resuelve por la técnica correspondiente a los
Modelos
Sobredeterminados y No Lineales
Mediante la reparametrización, es decir considerar el Modelo
Matemático como función de los nueve parámetros (cosenos directores) de la
Matriz de Rotación en vez de los tres parámetros elementales.
El sistema
de observación quedará de la forma: 3nV1 = 3nL1 + 3nA99
dX1 siendo n el número de puntos cuyas coordenadas son
conocidas en ambos sistemas.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R13 |
|
|
|
X’ |
|
X |
Y |
Z |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
R21 |
|
V |
= |
Y ‘ |
+ |
0 |
0 |
0 |
X |
Y |
Z |
0 |
0 |
0 |
* |
R22 |
|
|
|
Z’ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
X |
Y |
Z |
|
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R33 |
Sistema que puede resolverse
mediante la técnica correspondiente a los Modelos
Sobredeterminados y No Lineales
Mediante una solución expedita basada en el hecho de que si
los tres giros elementales son suficientemente pequeños se puede aproximar el
valor del seno por el valor del arco del mismo (en radianes) el del coseno por
la unidad y despreciar cualquier magnitud inferior a la milésima (producto de
senos).
Puesto que esta forma de proceder implica un sesgo (cuanto
mayores sean los ángulos mayor es el sesgo) en el sistema original será preciso
acometer su solución mediante una estrategia
iterativa en la que la solución encontrada sirve como aproximación de
partida para la iteración siguiente.
|
X’ |
|
R11 |
R12 |
R13 |
|
X |
|
X’ |
|
1 |
dχ |
-dφ |
|
X |
|
Y’ |
= |
R21 |
R22 |
R23 |
* |
Y |
expresión equivalente a |
Y’ |
= |
- dχ |
1 |
dω |
* |
Y |
|
Z’ |
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
Z |
|
Z’ |
|
dφ |
- dω |
1 |
|
Z |
Es decir, tenemos una equivalencia entre:
|
X’ |
|
R11 |
R12 |
R13 |
|
X |
|
dX |
|
X’-X |
|
dX |
|
0 |
dc |
-dj |
|
X |
|
Y’ |
- |
R21 |
R22 |
R23 |
* |
Y |
=0= |
dY |
y |
Y’-Y |
= |
dY |
= |
-dc |
0 |
dw |
* |
Y |
|
Z’ |
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
Z |
|
dZ |
|
Z’-Z |
|
dZ |
|
dj |
-dw |
0 |
|
Z |
Que reordenando de manera que los ángulos se concreten en un
vector (de incógnitas) e integrado queda:
|
X’ |
|
R11 |
R12 |
R13 |
|
X |
|
dX |
|
0 |
-Z |
Y |
|
dw |
|
Y’ |
- |
R21 |
R22 |
R23 |
* |
Y |
= |
dY |
= |
Z |
0 |
-X |
* |
dj |
|
Z’ |
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
Z |
|
dZ |
|
-Y |
X |
0 |
|
dc |
El sistema
de observación quedará de la forma: 3nV1 = 3nL1 + 3nA33
dX1 siendo n
el número de puntos cuyas coordenadas son conocidas en ambos sistemas.
|
|
|
R11 |
R12 |
R13 |
|
X |
|
X’ |
|
0 |
-Z |
Y |
|
dw |
|
V |
= |
R21 |
R22 |
R23 |
* |
Y |
- |
Y’ |
+ |
Z |
0 |
-X |
* |
dj |
; |
|
|
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
Z |
|
Z’ |
|
-Y |
X |
0 |
|
dc |
|
·
Se dispone de unos términos independientes, en todo
semejantes a los términos F(Xo) que deben aproximarse a cero a medida que los
ángulos se aproximan a sus valores definitivos y se dispone de un vector de
incógnitas dX idéntico en los dos casos.
·
La diferencia mayor consiste en la Matriz de Diseño A que
aquí es constante para todas las iteraciones mientras que en el caso del
Desarrollo en Serie de Taylor no lo es. Esta circunstancia que hace que este
sistema sea algo menos flexible que aquel y por lo tanto algo más inadecuado.
En la medida en que se va emplear una estrategia iterativa de aproximaciones
sucesivas, la mayor consecuencia que puede producirse es que con este sistema
se tarde algo más (una o dos iteraciones) en encontrar una solución
convergente.
Se puede, en definitiva, aplicar la técnica correspondiente
a los Modelos
Sobredeterminados y No Lineales